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次元(じげん、)は、空間の広がりをあらわす一つの指標である。座標が導入された空間ではその自由度を変数の組のサイズとして表現することができることから、要素の数・自由度として捉えることができ、数学や計算機において要素の配列の長さを指して次元ということもある。自然科学においては、物理量の自由度として考えられる要素の度合いを言い、物理的単位の種類を記述するのに用いられる。

直感的に言えば、ある空間内で特定の場所や物を唯一指ししめすのに、どれだけの変数があれば十分か、とも言える。たとえば、地球は3次元的な物体であるが、表面だけを考えれば、緯度・経度で位置が指定できるので2次元空間であるとも言える。しかし、人との待ち合わせのときには建物の階数や時間を指定する必要があるため、この観点からは我々は4次元空間に生きているとも言える。

また、転じて次元は世界の構造を意味することがある。

◆ 独立要素数

◇ 空間・時空

私たちの住む世界は共時的には3つの向きへの広がりをもった実3次元的な空間だととらえられる。また、時間は一方向的な実1次元的物理量だと考えられ、ニュートン力学では空間と時間は相互に独立な物理概念として取り扱われる。一方、相対性理論では光速を通じ時間の尺度と空間の尺度とは結びつけられ、符号(3, 1)の計量が入った実4次元の空間(ミンコフスキー空間)において現象が記述される。ただし、ミンコフスキー空間においても依然として時間軸は他の3つの空間軸とは性質の異なるものとしてとらえられることに注意しなければならない。

◇ 配列(プログラム)

コンピュータ言語において添字で指定できる一連の変数を配列(配列変数)と言うが、ひとつの配列で独立して指定できる添字の個数を配列の次元と言う。

配列参照。

◆ 次元論

数学では、次元は様々な数学的対象について異なる方法で定義されている。例えば、

・ ベクトル空間の次元 - ベクトル空間において、異なる要素同士が一次独立(線型独立)なベクトルからなる集合の最大要素数。

・ 多様体の次元

・ 複体のホモロジー次元

・ 環のクルール次元

・ 位相次元(トポロジカル次元)

  ・ 被覆次元

  ・ 大きな帰納的次元

  ・ 小さな帰納的次元

・ フラクタル次元 - フラクタル幾何も参照。フラクタルで定義される次元は0以上の実数であり、整数とは限らない。

  ・ ハウスドルフ次元

  ・ 相似次元

  ・ 容量次元(ボックス次元、ボックスカウンティング次元)

  ・ スペクトル次元

  ・ ランダムウォーク次元

  ・ ミンコフスキー次元(Minkovski-Bouligand次元)

  ・ パッキング次元

などが挙げられる。次元の概念は多様であるが、基本はユークリッド空間 Rⁿ の次元が n となることであり、局所的に Rⁿ である空間の次元が n に一致することである。

現代的な次元の概念は、古典的な図形の幾何学がユークリッド空間内の点集合論として一般化される19世紀末から20世紀初頭に掛けて、ポアンカレやブラウワーを萌芽としてメンガーやウリゾーンらの手によって可分な距離空間に対して定式化された。区別のために被覆次元と呼ばれるこの次元の概念はルベーグによれば「可分距離空間 X の任意の有限開被覆に対して高々次数 n + 1 の細分がとれるとき、X の次元は高々 n である」として述べられ、X が高々 n 次元かつ高々 n − 1 次元でないとき X は n 次元であると定義される。たとえば被覆次元が 0 であるというのは、各点が開かつ閉なる近傍を持つことであると述べることができる。そして古典的な意味で次元 n であるユークリッド空間 Rⁿ は被覆次元の意味でも n 次元になる。

◆ 物理量の次元

「量の演算と次元」も参照のこと。

自然科学では物理量を長さ、時間、質量といった基本量とそれ以外の組立量(誘導量)とに区別し、組立量を基本量の冪積の定数倍として表すとき、その基本量の指数の集まりとして次元が定義される。ここで言う定数は物理定数ではなく数学的な意味での定数であり無次元量と称される。例えば

:$q\; =\; \backslash mbox\backslash cdot$

\mbox^ \cdot \mbox^\cdot \mbox^\cdots

となる量 q に対して、その次元を [外部リンク] style="color:#8888ff;">q のように表すと

:$[外部リンク]q=$

\left[外部リンク] mass -->^\cdot \mbox^\cdot \mbox^\cdots \right

= \left[外部リンク] mass -->\right^ \left[外部リンク] length -->\right^ \left[外部リンク] time -->\right^\cdots

である。ここで、M = [外部リンク]mass, L = [外部リンク]length, T = [外部リンク]time, ... と置いて、物理量 q の次元式は M^mL^lT^t… であるなどという。

考えている系の中で適切に基本量を決定すれば、一つの物理量に対して唯一通りの次元が定まる。一つの物理量に複数の単位が与えられているとき、それらは基準とする大きさのみを異にし、したがって適切な無次元量を係数として与えれば互いに取替えが可能である(そこで物理量の代わりに物理量の単位を使って次元式を考えることもある)。例えば長さの次元を持つ物理量の単位にはメートルやインチ等があるが、1 インチは 0.0254 メートルにほぼ等しい。

一方、見かけ上異なる物理量が同じ次元を持つならば、その物理的本質は同じである可能性が推測できる。例えば仕事とエネルギーはどちらも等しく次元式 ML²T⁻²で表される次元を持つので、仕事とエネルギーとは互いに他の変換されたものであると理解される。しかし、次元が同じでも本質が同じとは言えない量の組合わせも多くある。一例が仕事と力のモーメントで、どちらもML²T⁻²の次元を持つが同一視は困難である。特に無次元量には、比重、アスペクト比、レイノルズ数などほとんど無関係の量が多数あるが、次元は全て無で等しい。

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